Makalah Hipergeometrik

BAB I

PENDAHULUAN

A.  Latar Belakang  
      Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagai kejadian-kejadian yang sebenarnya dapat diselesaikan dengan menggunakan probabilitas. Seperti ketika sedang membeli kebutuhan rumah tangga, terkadang kita membeli barang yang rusak, oleh sebab itu melalui distribusi hipergeometrik kita dapat menyelesaikan permasalahan tersebut.
     Kita dapat mencari probabilitas dari terpilihnya barang yang rusak, sehingga apabila probabilitasnya tinggi kita dapat mengetahui bahwa kemungkinan besar kita akan membeli barang yang rusak.
     Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.
     Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.


B. Tujuan Penulisan
   Dalam makalah ini akan menjelaskan tentang :
a).  Pengertian dari distribusi hipergeometrik.
b).  Perbedaan distribusi binominal dengan distribusi hipergeometrik mengapa bisa terjadi.
c).  Rumus dari hipergeometrik.
d).  Bagaimana cara mencari nilai harapan dari distribusi hipergeometrik.
e). Apa kegunaan dari distribusi hipergeometrik dalam kehidupan sehari-hari.
f). Apa keperluan dari kegunaan distribusi hipergeometrik itu sendiri.

C. Batasan Masalah
     Agar lebih terarah maka dalam makalah ini hanya akan membahas tentang distribusi hipergeometrik yaitu :
1.  Pengertian dari distribusi hipergeometri.
2.  Perbedaan dari distribusi binomial dan hipergeometri.
3.  Rumus dari distribusi hipergeometri.
4.  Nilai harapan dari distribusi hipergeometri.
5.  Serta aplikasi distribusi hipergeometrik dalam kehidupan sehari-hari.
6.  Dan keperluan apa saja yang dibutuhkan.

D. Manfaat Penulisan
     Makalah ini disusun  dengan harapan memberikan kegunaan baik secara teoritis maupun praktis, selain itu pula manfaat dari makalah ini agar masyarakat dapat mengunakan teori-teori perhitunga probabilitas dengan baik dan benar dan dapat menjadikan kegunaan dalam kehidupan sehari-hari, bagi penulis dan pembaca dapat mengetahui bagaimana perkembangan atau teori yang menyangkut kehidupan ini berperan besar.

E. Metode Penulisan
    Dalam metode penyajian makalah ini didapatkan dalam beberapa sumber dari web dan dari beberapa pelajaran yang telah dipelajari dari probabilitas dengan materi Yang baik serta mengumpulkannya menjadi satu sehingga dianggap mampu memenuhi semua materi yang di perlukan dan menciptakan sebuah makalah yang  hampir mencapai kesempurnaan, serta menggunakan pengalaman pembelajaran dan penelitian dari setiap penulisan yang ada di internet.

BAB II
PEMBAHASAN
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

A. Pengertian Distribusi Hipergeometrik Dan Distribusi Binomial
     Distribusi peluang perubahan acak hipergeometrik adalah banyaknya sukses (x) dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari populasi sebanyak N yang mengandung jumlah sukses sebanyak k.

• Distribusi Hipergeometrik

         Jika samping dilakukan tanpa pengambilan dari kejadian sampling yang diambil dari populasi dengan kejadian-kejadian terbatas, proses Bernoulli tidak dapat digunakan, karena ada perubahan secara sistematis dalam probabilitas sukses seperti kejadian-kejadian yang diambil dari populasi. Jika pengambilan sampling tanpa pengambilan digunakan dalam situasi sebaliknya dengan memenuhi syarat Bernoulli, distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit yang tepat.
Jika X melambangkan jumlah sukses dalam sample, N melambangkan jumlah kejadian dalam populasi, XT melambangkan jumlah sukses dalam populasi, dan n jumlah sample, formula untuk menentukan probabilitas hipergeometrik adalah.

P(XIN,Xi,N) = n.xtCn-x . xtCx : nCn

    apabila populasi besar dan sampel relatif kecil, pengambilan secara sampling dilakukan tanpa pengambilan menimbulkan efek terhadap probabilitas suksed dalam setiap percobaan kecil, untuk mendekati nilai probabilitas hipergeometrik dapat digunakan konsep distribusi binomial, dengan syarat n lebih kecil sama dengan 0,005 N.
 Tipe distribusi hipergeometrik ini sering sekali disebut juga dengan sampling dengan penggantian sifat dari distribusi hipergeometrik ini :
1)    Tanpa pengembalian, percobaan bersifat tidak independen.
2)    Nilai probabilitas setiap percobaan berbeda.

• Distribusi Binomial

         Salah satu distribusi probbabilitas diskrit yang paling sering digunakan dalam analisis statistic modern. Di bidang teknik, distribusi ini erat kaitannya dengan pengendalian kualitas (quality control).
Seperti yang sudah di jelaskan sebelumnya pada latar belakang distribusi hipergeometri terlahir dari teori probabilitas distribusi binomial.

B. Perbedaan Distribusi Binomial Dengan Distribusi Hipergeotrik
     Perbedaan dalam distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik tidak-lah jauh, namun bisa, dibilang hanya sedikit perbedaannya, dikarnakan distribusi binomial adalah hitungan awal, dari suatu probabilitas yang akan menghasilkan distribusi hipergeometrik hanya saja, perbedaan yang terjadi dari dua distribusi binomial dengan hipergeometrik adalah peluang.

• Perbedaan peluang distribusi binomial dengan distribusi hipergeometri :

1. Peluang Binomial :

Perhatian hanya untuk peluang BERHASIL.

•  Peluang Hipergeometrik :

1.  Untuk kasus di mana peluang BERHASIL berkaitan dengan Peluang GAGAL.
2. Ada penyekatan dan pemilihan/kombinasi obyek (BERHASIL dan GAGAL).

Percobaan hipergeometrik adalah percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut :
1.  Contoh acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N.
2.  k dari N diklasifikasikan sebagai “BERHASIL” sedangkan N-k diklasifikasikan sebagai “GAGAL”.
    Adapun perbedaan dalam cara penarikan sample, Dalam distribusi binomial diperlukan sifat pengulangan yang saling bebas, dan pengulangan tersebut harus dikerjakan dengan pengembalian (with replacement).
    Sedangkan untuk distribusi hipergeometrik tidak diperlukan sifat pengulangan yang saling bebas dan dikerjakan tanpa pengembalian (without replacement).

C.  Rumus Distribusi Hipergeometrik

•       Distribusi Hipergeometri

Jumlah cara/hasil dari memilih nelemen dari Nobyek adalah kombinasi :

Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh xsukses dan (n–k) gagalm dari suatu populasi yang terdiri dari ksukses dan (N –k) gagal adalah.

1). Fungsi Padat Peluang

 
x = jumlah terambil dari kelompok sukses
N = Jumlah sampel populasi
n = jumlah sampel
k = jumlah sukses.
Beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi hipergeometrik.

2). Mean (Nilai Harapan):
 
                   
3). Varians
   
     
4). Kemencengan (skewness)
 

5). Keruncingan (kurtosis)
      
Dimana M = k

D. Cara Mencari Nilai Harapan Dari Distribusi Hipergeometrik
   Sering kali kita tidak hanya tertarik pada jumlah keberhasilan dalarn n kali percobaan, tetapi juga proporsi dari keberhasilan. Jika X mewakili jumlah keberhasilan dan P mewakili proporsi keberhasilan, maka P =X/no Kita dapat menemukan E(P) dan Var(P) sebagai berikut:

        X      1             1
E(P) = E( - ) = - E(X) = - x np = p
            nn              n  

            x    1          1    p(1- p)
                    2
VAr(P) = Var (-) = ( - )   Var (X) x = - np (l-p) =
            N    n          n    n


   Nilai harapan dari proporsi keberhasilan sarna dengan p, probabilitas keberhasilan. Sebagai contoh, jika probabilitas bahwa suatu mesin akan berjalan sebagaimana mestinya adalah 3/4, maka anda dapat mengharapkan mesin tersebut bekerja 3/4 (75%) dari waktu yang anda opeasikan.

E. Kegunaan Dari Distribusi Hipergeometrik Dalam Kehidupan Sehari-Hari
   Ditemukan dalam berbagai bidang, dan paling sering digunakan dalam penarikan sampel penerimaan barang, pengujian elektronik, jaminan mutu, dan sebagainnya.
   Dalam banyak bidang ini, pengujian dilakukan terhadap barang yang diuji yang pada akhirnya barang uji tersebut menjadi rusak, sehingga tidak dapat dikembalikan. Jadi, pengambilan sampel harus dikerjakan tanpa pengembalian.



1). Contoh Soal
    Tumpukan 40 komponen masing-masing dikatakan dapat diterima bila isinya tidak lebih dari 3 yang cacat. Prosedur penarikan contoh tumpukan tersebut adalah memilih 5 komponen secara acak dan menolak tumpukan tersebut bila ditemukan suatu cacat. Berapakah probabilitas bahwa tepat 1 cacat ditemukan dalam contoh itu bila ada 3 cacat dalam keseluruhan tumpukan itu?


Penyelesaian:
   Dengan menggunakan sebaran hipergeometri dengan n = 5, N = 4, k = 3 dan x = 1 kita dapatkan probabilitas perolehan satu cacat menjadi.
 

2). Contoh Soal
    Sebuah komisi dengan anggota 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 ahli kimia dan 5 fisikawan. Carilah sebaran probabilitas untuk jumlah ahli kimia dalam komisi tersebut.

Penyelesaian:
   Misalkan peubah acak X sebagai jumlah ahli kimia dalam komisi tersebut. Kedua sifat percobaan hipergeometri tersebut terpenuhi. Sehingga !
 
Dalam bentuk tabel sebaran hipergeometri X adalah sebagai berikut:



Sebaran probabilitas tersebut dinyatakan dengan rumus

    Sebagai contoh, sebuah dadu dilempar sepuluh kali dan dihitung berapa jumlah muncul angka empat. Distribusi jumlah acak ini adalah distribusi binomial dengan n = 10 dan p = 1/6.
Contoh lain, sebuah uang logam dilambungkan tiga kali dan dihitung berapa jumlah muncul sisi depan. Distribusi jumlah acak ini merupakan distribusi binomial dengan n = 3 dan p = 1/2.

F.  Keperluan dari kegunaan distribusi hipergeometrik
     Mengetahui jumlah barang yang rusak dalam sampel acak dari sejumlah kiriman jumlah permen yang di ambil dari dalam kotak dengan rasa tertentu. Aplikasi dalam pendidikan seperti dalam penyelidikan pendapat umum/survey, dan dalam hipergeometrik juga dapat mengitung perputaran benda yang dilempar dari titik awal pelemparan apakah pelemparan tersebut dapat melihat hasil mutlak dari perputaran tersebut.

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan
     Maka dari hasil penulisan makalah ini dapat disimpulkan menjadi satu isian :

1.  Dalam Distribusi Probabilitas kunci aplikasi probabilitas dan statistik adalah memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas, sedangkan Distribusi binomial Salah satu distribusi probbabilitas diskrit yang paling sering digunakan dalam analisis statistic modern.
2. Dalam perbedaan distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik perbedaanya hanya masalah peluang yang menjadi kisaran utama yang hanya menjanjikan peluang keberhasilan hannya pada distribusi binomial sedangkan distribusi hipergeometrik yang menjadikan antara berhasil atau tidaknya peluang yang diberikan.
3. Rumus-rumus pada hipergeometrik : Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh xsukses dan (n–k) gagalm dari suatu populasi yang terdiri dari ksukses dan (N –k) gagal adalah 1.

 
Mean (Nilai Harapan):
Varians         
Kemencengan (skewness)
Dan masih ada lagi rumus untuk hipergeometrik seperti pembahasaan di atas.

Dan untuk yang terakhir ialah Keperluan dari kegunaan distribusi hipergeometri itu sendiri, Mengetahui jumlah barang yang rusak dalam sampel acak dari sejumlah kiriman, meghitung ketentuan kendaran, dan menjumlahkan dari beberapa hasil yang telah di berikan / diperlihatkan kepada penghitung.

    Dalam kesimpulan ini penulis hanya bisa menyimpulkan beberapa kretaria yang untuk dibahas secara umum. Bahwa Distribusi Probabilitas Hipergeometrik digunakan untuk menghitung probabilitas dari suatu obyek yang menggunakan prinsip tanpa pengembalian. Rumus probabilitas Hipergeometrik adalah: Untuk lebih mudahnya bisa menggunakan Excel dengan Rumus.

B. Saran

     Kami selaku penyusun makalah berbesar hati mengakui bahwa makalah ini memiliki banyak kekurangan, oleh sebab itu kami mengharapkan kritik dan saran yang dapat membantu kami dalam melengkapi kekurangan makalah kami.